Basiswissen Zahlentheorie: Eine Einfuhrung in Zahlen und by Kristina Reiss

  • admin
  • April 2, 2017
  • Number Theory
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By Kristina Reiss

Kenntnisse uber den Aufbau des Zahlsystems und uber elementare zahlentheoretische Prinzipien gehoren zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit naturlichen Zahlen uber Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf eine verstandliche und umfassende Darstellung des Stoffes gelegt. Beweisideen, die hinter stringent durchgefuhrten Beweisen stehen, und die Verknupfung von Fachwissen mit Schulbezugen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben. Erganzt wird die Darstellung durch viele Ubungsaufgaben, die mit Losungshinweisen und vollstandigen Losungen versehen sind.

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Es werden aber auch Aussagen u ¨ ber nat¨ urliche Zahlen bewiesen. 3, also bis zum Abschnitt u ¨ ber das Beweisverfahren der vollst¨ andigen Induktion kommen. Der folgende Abschnitt zum binomischen Lehrsatz ist davon eine Anwendung. Der Satz selbst wird allerdings erst in Kapitel 8 benutzt, sodass man mit dem Lesen noch etwas Zeit hat. Der Rest des Kapitels, in dem es darum geht, wie sich die nat¨ urlichen Zahlen auf ein tragf¨ ahiges Fundament gr¨ unden lassen, kann eventuell sp¨ ater gelesen werden.

Diese Methode ist f¨ ur die Arbeit mit dem Computer (und damit zum Beispiel f¨ ur den Computereinsatz im Unterricht) geeignet. 1 Jede nicht leere, endliche Teilmenge M von N besitzt ein kleinstes Element. 1 26 2. 1 Um die grundlegende Idee zu verstehen, sollte man sich die Zahlen aufgeschrieben auf einzelnen Zetteln denken. Alle diese Zettel liegen u ¨ bereinander, daneben steht ein leerer Schuhkarton. Die Zettel haben die Namen m1 , m2 , . . , mk , der Schuhkarton bekommt den Namen m0 . Nun nimmt man den ersten Zettel vom Stapel und legt ihn in den Schuhkarton.

Wegen der verwendeten Punkte (und der damit verbundenen Schwierigkeiten) ist die Umformung allerdings nicht ganz befriedigend. Nat¨ urlich soll die Verwendung von Punkten in Formeln nicht generell verboten und ein unbedingter Formalismus gefordert werden. Doch darf bei ihrer Verwendung kein Zweifel bestehen, was an der Stelle eigentlich zu stehen hat. Außerdem sollte man stets in der Lage sein, die entsprechende Aussage auch ohne Punkte schreiben zu k¨ onnen. In diesem ¨ Sinn soll also die gleiche Uberlegung noch einmal und unter Verwendung des Summenzeichens formuliert werden.

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